Толокнєєва Тетяна Олександрівна
вчитель математики Первомайського ліцею №5
Первомайської міської ради Харківської області
Десятичные дроби
Дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (т. е. 10, 100, 1000, и так далее) , часто записывают в более простой форме. В этой форме знаменатель не записывается, а целая и дробная части отделяются друг от друга запятой. При этом условились считать, что целая часть правильной дроби равна 0:
Записанные в такой форме дроби называют десятичными дробями.
Запись десятичных дробей
Десятичные дроби записываются по тем же правилам, по которым записываются целые числа. Напомним, что в десятичной системе счисления значение каждой цифры зависит от разряда (позиции), в котором она записана. При этом единицы соседних разрядов отличаются между собой в 10 раз. Например десяток в 10 раз меньше сотни, единица в 10 раз меньше десятка. Если в каком-либо разряде (кроме высшего) отсутствуют единицы, то на его месте пишут нуль.
В записи десятичной дроби целая часть отделяется от дробной части запятой, т. е. сначала записывается целая часть, затем ставится запятая, и после неё записывается дробная часть. Поскольку единицы соседних разрядов отличаются между собой в 10 раз то, справа от целых единиц мы должны записать такие доли, которые в 10 раз меньше целой единицы, то есть десятые доли. Справа от десятых долей мы должны записать такие доли, которые в 10 раз меньше десятых, то есть сотые доли и так далее. Например десятичная дробь 5 целых и 3 десятых будет записана так:
5,3
Первый разряд справа после запятой называют разрядом десятых. Например, число 3,4 состоит из 3 целых и 4 десятых – читают три целых четыре десятых.
Второй разряд справа после запятой называют разрядом сотых. Например, дробь 0,72 читают ноль целых семьдесят две сотых. Число 0,72 состоит из 0 целых 7 десятых и 2 сотых.
Третий разряд справа после запятой называют разрядом тысячных, четвёртый – разрядом десятитысячных и т. д.
Цифры, стоящие справа от запятой, принято называть десятичными знаками.
Иногда вместо запятой в записи десятичной дроби ставят точку, например вместо 5,3 пишут 5.3.
Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведённые в ней примеры записи чисел:
Обратите внимание, после запятой в записи десятичной дроби получается столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби:
Перевод дробей из одного вида в другой
Перевод десятичной дроби в обыкновенную или смешанную очень прост. Главное правило здесь: как слышится, так и пишется. Например, 0,75 – это ноль целых, семьдесят пять сотых. Так и записываем: . Точно таким же образом десятичная дробь легко переводится в смешанное число. Например 2,3 – две целых три десятых. Записываем: .
Если правильная дробь записывается в виде десятичной, то нужно принять во внимание, что у неё нет целых, значит, целая часть такой дроби будет равна 0. Например, .
Допустим у нас есть обыкновенная дробь . В знаменателе у неё стоит 100. Посчитаем сколько нулей содержится в знаменателе: два нуля. Отсчитываем в числителе справа налево две цифры и ставим запятую: 4,37
Ещё примеры:
Сравнение
Десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, что и натуральные числа:
-
Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше разрядов в целой части. Например, 647,78> 43,952, потому что число 647 имеет больше разрядов в целой части, чем число 43.
-
Из двух десятичных дробей с одинаковым числом разрядов больше та, у которой больше первая (слева направо) из неодинаковых цифр. Например, 432,35 > 432,21, потому что у первого числа, цифра в разряде десятых больше, чем цифра в этом же разряде у второго числа.
23,54 > 23,24
101,23 > 101, 203
-
Две десятичные дроби равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны. Например, числа 7832,0954 и 7832,0954 равны. В этом легко убедиться, записав их одно под другим:
7832,0954
7832,0954
Основное свойство десятичной дроби
Из основного свойства частного следует основное свойство десятичной дроби:
Величина десятичной дроби не изменится, если справа или слева приписать или зачеркнуть любое количество нулей.
Рассмотрим это правило на примере:
потому что
Добавляя или убирая с правой стороны десятичной дроби нули, мы тем самым увеличиваем или уменьшаем её числитель и знаменатель в одно и то же число раз.
На этом свойстве основано сокращение и приведение десятичных дробей к общему знаменателю.
Для сокращения десятичной дроби, нужно отбросить нули, находящиеся справа, так как от этого величина дроби не изменится, а её вид станет проще:
0,50000 = 0,5
Для приведения десятичных дробей к общему знаменателю, нужно уровнять число десятичных знаков нулями, так как от этого величина дробей не изменится, а знаменатели станут одинаковыми:
1,2 = 1,2000
4,4732 = 4,4732
Сложение и вычитание
Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, нужно записать их одну под другой (столбиком), подписывая цифры соответствующих разрядов друг под другом. Сложение и вычитание десятичных дробей производится так же, как сложение и вычитание натуральных чисел. В результате ставят запятую под запятой:
Если десятичные дроби имеют разные знаменатели, то можно привести их к одному знаменателю, а можно и не приводить:
Чаще всего приведение к одному знаменателю используется при вычитании одной десятичной дроби из другой:
Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10, 100, 1000 и т. д. раз
Чтобы увеличить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д. раз, то есть умножить на 10, 100, 1000 и т. д., нужно в записи дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры, приписав при необходимости нули справа.
Примеры:
1) Увеличив дробь 63,29 в 10 раз, получим дробь 632,9 так как:
63,29 * 10 = 632,9
45,6 * 10 = 456
Таким образом, увеличение дроби в 10 раз привело к переносу запятой на 1 цифру вправо.
2) Перенеся запятую в дроби 63,29 на 2 цифры вправо, получим число 6329, в 100 раз большее данной дроби 63,29:
63,29 * 100 = 6329
87,08 * 100 = 8708
43,8 * 100 = 4380
3) Если учесть, что 63,29 = 63,2900, то, перенеся запятую в дроби 63,29 на 4 цифры вправо, получим число 632 900, в 10 000 раз большее первоначальной дроби.
0, 23 * 1000 = 230
Таким образом, перенося запятую в записи дроби на 1, 2 и т. д. цифры вправо, мы увеличиваем эту дробь соответственно в 10, 100 и т. д. раз.
Чтобы уменьшить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д. раз, нужно в записи дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры, приписав при необходимости нули слева.
Примеры:
1) Дробь 6,329 в 10 раз меньше дроби 63,29. Первая дробь получена из второй переносом запятой влево на 1 цифру.
23,4 : 10 = 2,34
56,86 : 10 = 5,686
43 : 10 = 4,3
2) Если в данной дроби 63,29 перенести запятую на 2 цифры влево, то получим дробь 0,6329, которая в 100 раз меньше данной.
0,3 : 100 = 0,003
1,3 : 100 = 0,013
34,7 : 100 = 0,347
Таким образом, перенося запятую в записи десятичной дроби на 1, 2 и т. д. цифры влево, мы уменьшаем эту дробь соответственно в 10, 100 и т. д. раз.
Умножение
Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в двух множителях вместе.
Например, нам нужно перемножить числа 2,13 и 1,2, сначала мы отбрасываем запятые и перемножаем их:
Теперь нам нужно посчитать сколько всего десятичных знаков было во множимом и множителе, и в полученном произведении отделить запятой нужное количество знаков:
Деление
Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, нужно сначала разделить целую часть (если она есть), затем поставить запятую в неполном частном и приступить к делению дробной части:
В этом примере мы сначала разделили 13 на 4 и записали в частное 3, затем мы поставили в частном запятую, так как у нас в остатке осталась единица, которую на 4 мы уже поделить не могли, затем мы продолжили делить дробную часть. Особенность этого примера заклячается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружили остаток, равный 2 сотым, мы раздробили этот остаток в тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.
Чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.
В качестве примера разделим 72,9 на 0,09:
45,9 : 0,9 = 459 : 9 = 51
6,72 : 1,2 = 67,2 : 12 = 5,6
3,9 : 0,26 = 390 : 26 = 15
